半群：一个非空集合上的二元运算满足结合律。
幺半群：集合内存在该运算的单位元。
环本身就是一个乘法半群，反之一个含加法单位元的乘法半群却不必然通过引入加法而成为环。
半群的一个基本概念是正则性，即其任一元素皆存在其运算逆元。
半群的逆元比群的逆元要弱。
正则半群上：逆元总是唯一的幂等元两两可换。
具有如此性质之正则半群称为逆半群。
由于集合上的自映射在合成运算上是结合的，如果映射非双射，则构成半群。
-代数第一同构定理
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源于Hilbert第5问题(针对一些函数方程的可微性条件是否可以弱化的问题)的一个一般形式：
拓扑群如果局部欧氏，就是李群。（Montgomery, Zippin, 1952）
即如果把解析结构减弱为拓扑结构，只要局部欧氏，则仍其为李群。
这个问题可以采取同伦的看法。
所谓作用在两个拓扑空间之间的两个连续映射同伦，是指这两个映射如果从同一点出发，所分别得到的像在其所处空间是可道路连通的，并且该道路可作为原像点的函数而连续。
在同伦的看法下，对于李群的群结构可以使用这样一个角度：H-空间。
所谓H-空间，即在其上定义了一个配对运算和一个该配对运算下的同伦单位元的拓扑空间，然后对该单位元作左右的配对运算所得之映射皆同伦于该空间上之单位映射。
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首先群是一个基本的乘法结构，然后解析流形是良好的做分析的背景，两者组合在一起，也就是说令群的乘法是解析映射，决定了李群是非常重要的对象。
李群是可完全分类的群：
对李群的完全分类是通过绕行到其作为一个流形的切空间上进行的，即李代数。
一个李群的李代数由其所有群上左不变向量场构成。这个提升的好处是，如果两个李群同构，则其各自的李代数也同构；反过来如果两个李代数同构，则各自的李群局部同构，如果我们限定于单连通李群，则局部同构可扩充为同构。因此单连通时李群与李代数可以一一对应。
然后的问题就是李代数的完全分类，由Cartan-Killing完成。
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在经典力学当中，可以自然地赋予状态空间以流形的框架，然后流形上的函数就可以用来表达可观测性，函数们构成交换的结合的代数。
那么在量子力学当中呢？状态为Hilbert空间H的1维子空间，H里面的算子则可以用来表达可观测性，算子们构成非交换的结合的代数。
因此我们可以认为所谓量子化的过程，形式上看到的就是从一个交换的结合代数变换为一个非交换的结合代数。
进一步，我们还可以把量子对象的状态空间赋予群的构架，那么群上的函数就可以表示可观测性。所谓量子群就是从这里开始的。
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operation, like set, is the most fundamental notion in mathematics, so we have to see how about the structure of a set when we define an operation in it.
1. the most general operation, a composition +: a+b=c
At first, we can make the composition is associative in the sense that: a+b=c, c+d=e, b+d=f, a+f=h, then e=h. This constraint brings a kind of order to the set, and as soon as we endue a set with an associative operation, we will see the law’s meaning from the structure of that set.
if we define an associative composition + in a set A, then (A, +) is a semi-group.
associative law means: if a+b+…+n=z, there is only one z in the semi-group.
if the operation is non-associative, such z is NOT only one at sometimes.
we can always use a multiplication table to express the composition in a set, then if the composition holds associative law, what we can say about the table?
2. for the completeness of operation itself, we need introduce an element e to the set that for any element x: x+e=x or e+x=x. this means that composition can change an element, or can not change an element.
if there is e1: e1+x=x, for any x; and there is e: e2+x=x, for any x. does e1=e2?
3. unit
if we want to investigate the structure of a group, let’s begin from: when we can say two groups have the same construction? and when they don’t? this question introduce the notion of
isomorphism: when we can get a 1-to-1 correspondence between two groups, and this correspondence retain composition
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