前言
逻辑的观念，在人类认知历史很早期就开始有自觉的，这种自觉有力地辅助了人类思维能力的进步。到二十世纪初数理逻辑构成数学基础的一个部门来讨论的时候，逐渐澄清了一个部分的人类认知任务的机械属性，从而导致20世纪最伟大的工具-计算机的发明。
我这里试图以一个认知结构发育的角度，来重新讲述数理逻辑的故事，作为前面讨论人类进化遗产的一个章节。

怎么说话？不是一个小问题，而是一个大问题。

1.1首先看，我们说的话，一般包括哪些话。

儿童说话，起先是自己感觉和意图的表述，例如：

我饿了
我要喝水

然后有了未知的概念，并学会了询问未知的意图表述的一种技巧-问句：

你是谁？（我要知道你是谁）

从只说已知的，到也说未知的，对于认知发育是一个值得注意的节点。
随着儿童行为领域的扩大（游戏，玩耍，与看护者的互动…），要求其开始相应的思维，才能适当地完成行为，这时，就有了所谓推理。
推理，我们现在一般区分为两种形式：归纳与演绎。
但在形式上，都是：你说了一句或多句话，然后再说另一句或多句话。
问题就在这里：从你开始说的一句或多句话，到然后你说的另一句或多句话，如何保证这个过程是对的？所谓数理逻辑，就是讨论此问题。

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面对一群羊，我们似乎有两个理解并把握这群羊的方式：
１，给每只羊起一个名字，并因为某个个性特征而永远不会把名字给搞混淆了，那么我们晚上把羊赶回羊圈时，可以站在门口，一只一只地把回来的羊与记忆当中的那些具有个性特征的羊对上号，最后，我们可以知道，是不是丢失了羊；
２，数数，记住这群羊一共有多少只，然后在羊圈里面，再点一次数，就知道是不是丢失了羊。
第一种方式，似乎不涉及到数量概念，因此假设你不会数大于１０的数字也没关系，前提是你的单纯信息的记忆力极强。当然，你可以造一个花名册，进去一只，勾 掉一只。但回忆你在花名册里面搜寻名字的过程，其实就是在进行“下一个”的操作。因此依靠花名册，本质还是需要你从事数数的操作。进一步，依靠记忆，难道 又不是内蕴了数数的操作吗？设想一下你站在婚庆宴会厅的门口，要判断自己邀请的１千个熟人是不是都进去了，不依靠花名册而完全依靠记忆的话，难道不是反复 在大脑里面进行“下一个”的操作吗？张三来了，李四来了，．．．，下一个，还有谁没来？

所以这说明了两个结论：
数量是内蕴于事物的属性，数量概念的明确说明我们对于事物有了切实的理解。
这两个结论推广到最一般的情形，仍然是正确的：
数学是内蕴于事物的属性，数学概念的明确说明我们对于事物有了切实的理解。

继续举例。
对于一个非常基本的物理系统，它的状态，我们希望用一个物理量来描述。然后我们看到它的状态的变化，在一种基本性的含义上，我们希望那种变化被理解为不同状态的叠加，所产生出来的新的状态。然后我们进一步观察到：
一个状态量如果乘以一个复数，得到的仍然是属于该物理量的不同取值；
两个不同的状态叠加起来得到一个新的状态；
每一个状态都可以由一些状态叠加起来。
最后，我们意识到，这样一个物理量一般得需要一个以上的数值来确定大小。例如这样表示：（ａ，ｂ）或者（ａ，ｂ，ｃ）或者更多。
至此，我们知道了这样一个物理量属于一个线性空间的向量。关于线性空间，基于上述的基本要求，基本上就可以建立一个很清晰的数学结构，同时，如果我们发现这样一个线性向量概念是可以充分描述该物理量的话，我们不得不说，线性空间的数学结构是内蕴于自然事物的。
这就是量子力学的数学，或者说，这就是内蕴于量子世界的数学。

这里面最有意思的事情是：我们在数学的层面上把握一个自然对象了，是一个意味；我们在物理概念的层面上理解一个自然对象了，是另一个意味。这两种意味之间具有极其微妙的关系。
回到前面那个最简单的例子，我们可以大体了解到这个关系：
数学是我们进入自然的方式，科学概念是我们观看自然的方式。

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函数概念要求数的集合的完备定义

1.1

确立函数与计算的具体概念之后，就要求进一步确立对于函数变量取值或计算结果具有完备的描述能力的数的集合。

后继的运算->自然数集合的公理化定义

四则运算->有理数集合的运算定义

至此所有的运算，都包含阿基米德度量性质：任何一个确定的数，使用任何一个单位e去度量它，总是可以在经过n次度量之后，得到的n*e大于该数。

因此可以把这个性质用作刻画我们所需要的数集合的一个公理：阿基米德公理。

然后使用这个公理来刻画存在于我们的直观里面的顺序的观念：在数集合的元素之间建立顺序关系，即对于任意两个不同的元素a和b，必定有，或者a大于b，或者a小于b。因为总是可以用a来度量b，或者用b来度量a。

在函数的研究中引入代数方程的概念后，立刻可以知道有理数不具有完备的描述代数运算结果的能力，即实在的代数方程的根常常无法用有理数表示。

其原因在于：只要不涉及求负数的偶数次方根的运算，代数运算就是保持数集合顺序结构不变的，即如果要对一些数进行代数运算，它们之间是可以按照从大 到小的顺序排列出一个唯一的序列的，而对它们进行运算之后所得到的结果，也必然能够插入这个序列，其位置是唯一的。有理数集合的问题就在于，它没有能够完 备地描述这个作为对于数集合的一个基本要求的顺序结构。

那么在什么情况下，才可以说顺序结构获得了数的完备的描述呢？

所谓顺序的完备，原始的含义就是对于任何计算结果，我们总是可以把所有的目前已知的能够相互建立顺序关系的数（有理数）分为两个子集合A和B，使得所有属于A的数都小于这个结果，而所有属于B的数都大于这个结果，然后这个结果应该是一个确定的获得了描述的数。

也就是说，对于任何一个能够与所有已经相互具有顺序关系的数建立大小关系的数，必须都属于我们所需要的数的集合，才可以说这个集合在顺序上是完备的。

反过来，我们正是从顺序完备的这种涵义出发，来基于有理数集合而构造顺序完备的数集合-实数集合。

任何一种把所有有理数分为两个子集合A和B，而A的所有元素都小于B的任意元素的方法，都称为对于有理数的一个Dedekind分割。

一种显然的分割方式，是任意取定一个有理数q，使得所有大于q的有理数构成集合B，而所有小于q的有理数包括q自身构成集合A。这时集合A存在最大值q，而集合B不存在最小值。（当然也可以约定把q归属于集合B，则反之。）这时，我们不妨说，这个分割定义了数q。

另外一种分割方式，是对于无论用什么方式得到的一个数r，如果我们总能够对所有有理数判断，或者是小于r，或者是大于r，这样就能够分别构成集合A和B，而成为对于有理数集合的一个分割。

然后，假如我们能够肯定数r不是有理数，那么无妨认为这个分割本身即定义了数r。这时，A中不存在最大值，同时B中不存在最小值。否则，该分割定义的就会是相应的最大值或最小值。

这时，我们就可以说，有理数集合的所有分割的集合，就是一个在顺序上完备的数的集合，称为实数集合。

对于这样一个实数集合，目前我们只知道，对于该集合的任一个元素，都可以和该集合当中的每一个元素建立大小的顺序关系，而能够和该集合里面的任意元素都能够建立大小顺序关系的数，都包含在这个集合里面。

下面进一步，从实数集合的这个性质出发，来讨论实数集合在描述函数以及计算方面的性质。

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对于实数集合的更加形式而一般的讨论

例1.割圆术所获得的圆周率

例2.欧拉常数

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1.2

运用函数概念所从事的第一个最富野心的工作，是分析无限的涵义。

关于无限，存在两种提问的方式：

a.无限的物理涵义是什么？这是一个物理的问题，应用于譬如说“整个宇宙的中微子的数量是无限的吗，宇宙是否无限膨胀下去呢”这样的句子里面。

b.如何应用函数构造来刻画其中出现的无限？这才是数学的问题。

通过后继运算而构造自然数，刻画了第一个我们关于无限的直观概念。

通过建立自然数与有理数的一一映射，也确立了等势的概念：能够在元素之间建立一一映射的两个集合的元素数目相等，即等势。

运用自然数（作为指标集）来标记运算，使得能够明确定义无限次数进行的运算，这样的运算结果可以不是代数数，但仍然能够和实数比较大小，即仍然属于实数，称为超越数。

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例3.pai是超越数

例4.欧拉常数是超越数

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运用自然数标记的无限次运算的构造，称为序列。其运算结果，称为序列的极限。或者把这整个的运算过程，称为极限运算。

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它只琢磨我们表达清楚了的东西。
因此，数学逻辑很适合用来教会机器以模拟人的行为，而很难用来指望它主导人本身的抽象行为。
但，恰好在何谓清楚的意义指证上，思考数学基础的数学逻辑，试图扮演意义终结者的角色。

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计数大概是人的一个基本功能，运用计数的方法来分析，则是数学的一个基本技术。
一般地计数，首先遇到的问题就是有限与无限。有限的计数，通向专门的组合技术，而无限的计数，则构成分析的基础。

无限的存在，大概是人的第一个惊奇。数数给我们的经验是，计数不是最终目的，明确地描述行为本身才是目的。
描述所需要面临的第一个问题是获得对象，最基本的对象观念，就是集合。
描述“加1”背后的集合，就获得了人类的第一个数学对象-自然数集合。

关于无限的第二个惊奇，是发现哪怕是运用自然数，即可找到不同于自然数的其他无限形式，“日取其半，以至于无穷”，还好，我们可以使用集合观念来把握那样的无限：
假设“日取其半，取之不竭”，即在一个集合A里面去取子集的操作，如果重复可数无限次，总还是存在非空的子集。这个操作本身表明A的元素是不可能用自然数一一对应标记的。
（假设A中的元素是可以与自然数一一对应的，那么只是采取日取其半的方法，去掉包含某个自然数对应元素的那一半，即去掉所有用自然数标记了的元素所在的那一半之后，总还是剩下一个A的非空子集，即可在A里面找到无法用某个自然数对应的元素。）
无限的形式变了，但一一对应的计数原则仍然可以保留，实际上，如果A与B一一对应，A与C不能一一对应，那么我们总是发现B也与C不能一一对应。这个事实保证着这个计数原则的有效性，也由此可以依据计数性质来对集合分类。
分析正是需要在一个计数性质明确的集合上进行，至于该集合如何具体实现其计数性质，则应该不是分析学的主题。

[接下来的问题是，自然数是一个现成的具体实现了的集合，通过与之进行一一对应操作，可以确定与之等势的其他集合，例如有理数，然后可找到另外与之不等势的无限集合，例如实数，无理数，代数数，超越数等实现例子，则属于同一类，显然自然数的势小于实数的势，那么：
1，是否存在势介于上述两者之间的集合？
2，势大于实数的集合是否存在，以及如何实现？
同样我们把上面的问题留给集合的理论，下面只是讨论一般分析的方法。]

一个集合的计数性质可以通过子集来构造。实际上，如果构造集合A的所有子集的集合A，则该集合的势比A大，而且不存在势介于A与A之间的集合。这样一个事实使得我们可以经由A的子集的构造来描述A的计数性质，这就是所谓子集的代数。

最直接的分析集合的方法，是赋予集合一种测量方式，使得可以进行基本的分析。
进行分析需要对象满足两个基本要求：无限的与有序的。满足这两点的基本模型就是实数集合，因此要对一般集合进行分析，一般的方法，就是赋予集合以测度,也就是用函数的方法，测量集合而得到一个实数值。

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0.2. category

0.2.1.what is a category?

Category is a set that express a routine:

Take some objects that compose a class O, then we construct a class M of morphisms, a morphism hom(i, j) as an element of M, is defined from i to j, i and j are any element of O, and we name that i is the domain of f, j is the codomain of f. Then we have:

For any three elements (i, j, k) of O, if we can get two morphism hom(i, j) and hom(j, k), then we define a composite operation * from hom(i, j) to hom(j, k), get a composite morphism hom(i, k), means hom(i, j) * hom(j, k) = hom(i, k)

Such composite operation satisfy associative law.

For any element j of O, there is a identity morphism ID(j), it is from j to j, and for any hom(i, j) or hom(j, k), we have hom(i, j) * ID(j)=hom(i, j) and ID(j) * hom(j, k)=hom(j, k).

So, a category is just a set {O, M, *}.

________________

SET_A={O, M, *}; O={i, j}; M={ID(i)_1, ID(i)_2, hom(i, j), hom(j, i)_1, hom(j, i)_2}. Is SET_A a category?

________________

0.2.2.why we need category?

Because category is the most general routine in modern mathematics.

0.2.3. product and plus of categories

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what is mathematics?

<The Detail of This Chapter.pdf>

the first event: 1, 2, 3,…

then, we know that counting means +1

the first principle: no more, nor less.

addition, subtraction, multiplication, division

subtraction lead to 0 and negatives

division lead to fraction

the closeness of operation=>the set of number: natural number, integral number, rational number.

infinity.>

【complete induction】

how to denote number? base and power

how to solve algebraic equation?

the complete of order=>real number set

the second principle: completeness

any two elements of set R, a>b, or b>a,

【the base of analysis】

【the power of set】

but, when we need describe something like a point on a plane, or a solution of a special equation, such a set is not enough.

complex number: if x²=-1, whether x > or

【complex number】

vector: is (3, 6) > or < (9, 2)?

the completeness of field: algebraic equation

【algebraic field】

the completeness of linear space: the structure of linear space

【linear space】

so, when we create mathematics from NATURE, we get algebra at first!

in succession, we need add more detail into the algebraic “coordinatisation” to realize or represent our understanding about NATURE.

the third principle: sign variable

function

the second event: to describe the causalities and the relationships that come from NATURE.

algebraic function, transcend function based on real or complex set or any other algebraic set.

equation

realization of function

the forth principle: geometry - the logic from NATURE

algebra is the primary method that we grasp NATURE mathematically. and then, because geometry is one of the basic gates that we enter NATURE, we usually get useful notions from geometry as a part of mathematics.

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0.1.set

0.1.1.the prologue

In any situation, we have to take some concepts about our objects, and we have to express them as clearer as possible, no matter how complicate are them. Which means we need settle down all the coarse concepts that inspired by our practice, then pick some simplest and self-explanatory concepts as littler as possible, OK, let’s begin to describe our image from them!

The simplest and self-explanatory concepts: class; element; equality.

The first-order predicate: and; or; non; implicate; exist.

The basic sentences:

–element a belong to class A;

–element a is equal to element b;

–class A is equal to class B.

Then we have some axioms to express meaning of these concepts:

(1)For element a and class A, we can always judge that if a belong to A.

(2)[”a belong to A” imply “a belong to B”; and “a belong to B” imply “a belong to A”] imply A is equal to B.

(3)Equality has transitivity.

(4)For any statement that only use the first-order predicate, exist a corresponding class A that cause the statement is true for all the element of A.

From the concepts of class and element, we can get a finer concept:

If a class itself can became a element in certain situation, then we call such a class a set.

If a class itself can not became a element in any situation, then we call such a class an essential class.

_______________

the class A=: {x | x is a set, and x don’t belong to x.} is an essential class.

_______________

From now on, we can express any object clearly.

0.1.2.

power set of set X: its element is any subset of X.

a filter F on X, a subset of power set of X:

if k is a element of F, then any subset b of X that contain a as subset is a element of F;

if a and b are element of F, then their intersection is element of F;

null set is not element of F.

ultrafilter, or max filter

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