1，线性空间
你做什么，而不是，你是什么，是我们此地所关注的。
所以，我们现在的问题是，定义在一个集合里面的运算，是如何导致该集合的结构，以及什么样的结构，然后，具有此结构的集合，可以有何用。
秉承此思想，我们可以来考察任何一个具有明确意义的集合：自然数，实数，…
且慢，对于自然数、实数这类集合，我们常常禁不住诱惑，要去问自然数是什么、实数是什么诸如此类的问题，但此类问题其实是次要的如何实现的问题，所以还不如完全从运算出发，来构造一个集合。线性空间就是如此行为的一个典型：即定义两种运算，然后看在这两种运算下封闭起来的集合具有何种结构。
集合，可以说是人类认知历史上的第一个抽象观念，因为指称的同义词，正是集合。
例1， 在一个原始狩猎场景，作为瞭望哨的甲看到一群狼和一群野狗走近，于是甲发出警报，“狼（群）来了”，听到警报的人马上会意识到是狼（群）来了，但不会意识 到同时也有一群野狗来了，因为甲所说的狼（群），对于其他人来说，就是一个概念明确的集合，其中不包含野狗，除非甲再加一句，野狗也来了。能够明确判断某 个对象不是属于某个集合，正是集合这个概念的用处。
运算则是人类认知史上稍后一些的抽象观念。
例2，同样在一个原始狩猎场景，甲看到一群野牛在行进中，然后从东方来了另外一群野牛，两群牛相遇后混到了一起，假如甲要向族人说清楚何以前后牛群的规模发生了变化这件事，就非得引入运算的观念不可。
从这些早期认知史的场景，我们可以活生生看到，后来被称为数学的东西，一开始就是人类大脑能力的自我演进道路上的主要内容。
例3，在上面的例2中，假设有甲乙两人，分别要向族人报告，而甲比乙说得更清楚，显然只是因为甲具有比乙更明确的加法运算的概念。这种个体之间认知能力的差异，后来分化为认知领域的差别。
属于数学这一系抽象范畴的大脑能力的自我演进，后来显出特异的方向，我们随时在阐述数学概念的发生时予以跟踪此一历史趋向。
线性空间
一个线性空间，就是由约定的两个集合、四种运算构筑出来的。
两个集合：
`\{X, +\}`为一个Abelian群;
$\{A, +,*\}$为一个域;
四种运算：
除了上述群和域中的三种运算之外，
$\times: A\times X\rightarrow X$是这两个集合之间的运算。
($\times: Z\times X \rightarrow X $这个运算约定已经暗示了线性空间的结构。)
使用这四种运算: +, +, *, $\times$，如果$\{x,y\}\subset X ,\{\alpha,\beta\}\subset A$，那么我们可以做如下三种基本的运算组合:
$ (\alpha+\beta)\times x $
$ (\alpha*\beta)\times x $
$ \alpha\times(x+y) $
然后我们进一步约定：
$ (\alpha+\beta)\times x=(\alpha\times x)+(\beta\times x) $
$ (\alpha*\beta)\times x=\alpha*(\beta\times x) $
$ \alpha\times(x+y)=(\alpha\times x)+(\beta\times y) $
这就完备地约定了一个线性空间`X`。
然后我们就需要知道，这样一个集合-线性空间，可以具有什么样的构造和属性。
维度和子空间
for 0 of group $\{X, +\}$, what does $x+y+,…,+z=0$ means?
$\forall x\in X, 0*x=0, 0\in A, 0\in X $;
(x+0*x=(1+0)*x=x)
$\forall\alpha\in A, \alpha*0=0, 0\in X $;
if $\alpha\ne0,x\ne0$,then $\alpha*x\ne0$;
but, $\alpha*x+\beta*y=0$ is possible! when $\exists\alpha,\beta, x, y\ne0$.
then, what does that means?
means that:
$\forall\gamma\in A,\{z|z=\gamma*x\}$ is a linear space; any such $y\in\{z\}$; x and y is symmetry in the lemma;
$\{Z\}$ is a subgroup of $X$.
if $\exists$ y is not $\in\{z\}$, then
$\forall\alpha,\beta\ne0,\alpha*x+\beta*y\ne0$, at this situation, $\alpha*x+\beta*y+\gamma*z=0$ is possible!
what does this means?
means that:
$\forall\alpha,\beta\in A,\{z|z=\alpha*x+\beta*y\}$ is a linear space; y and z is symmetry in this lemma; and $\{z\}$ is a subgroup of $X$.
let’s go on!
if $\{z\}=X$, and z can be expressed as
$z=\alpha*x+…+\beta*y$
then we can say $\{x,…,y\}$ is bases of $X$. the number of the elements of $\{x,…,y\}$ is the dimension number of $X$.
because of the form $x+y+,…,+z=0$ can be used to generate all the space $X$, we name such $\{x,y,…z\}$ is linear dependent. and if $z=x+…+y$, we name $x+…+y$ is a linear
combination of z.
theorem
any vector z of $X$ can be expressed as its bases’s unique linear combination.
coordinate transform
if $X$ is a n-dimension linear space, then any non-linear dependent n elements of $X$ can be used as its base.
isomorphism
How to retain the structure of a linear space?
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